力学研究类论文如何怎么撰写 与带有饱和发生率和线性饱和治疗函数的SIS模型的动力学有关论文如何怎么撰写

带有饱和发生率和线性饱和治疗函数的SIS模型的动力学，该文是力学研究类学年毕业论文范文跟动力学和动力学研究和SIS模型相关学年毕业论文范文.

摘 要:改进了一类具有饱和发生率和不具有常态预防的饱和治疗函数的传染病模型,改进后的模型具有常态预防能力,更能反映真实的传染病防治情况,所得结论更具一般性.利用定性理论和稳定性分析,研究了模型的平衡点个数、平衡点的稳定性以及后向分支问题.研究发现：模型最多存在4个平衡点；当基本再生数小于1时,若饱和治疗率较小,常态预防能力较大或者过早采取最大治疗能力,模型发生后向分支.

关键词：治疗函数；SIS传染病模型；后向分支；平衡点

中图分类号：O193文献标志码：A文章编号：1673\|3851(2018)09\|0630\|07

0引言

为了发现传染病的传染规律并有效地对传染病进行控制,许多学者致力于传染病模型动力学问题的研究.基本再生数R0是传染病模型中决定疾病是否消失的一个重要依据,R0>1意味着疾病持续,R0≤1表示疾病消失.在经典传染病模型中,从无病平衡点到地方病平衡点的分支是向前的.但当后向分支发生时,即使R0<1,模型仍存在多个地方病平衡点,因此根据R0是否小于1不能判断疾病是否灭绝.1927年,Kermack等［1］研究了著名的SIRS传染病模型,该模型包括易感者(Susceptiblepolulation,S)、感染者（Infectedpopulation,I）以及恢复者(Recoveredpopulation,R).由于发生率函数和治疗函数反映的分别是传染病的传染规律和治疗规律,因此发生率函数和治疗函数是影响传染病模型动力学行为的两大重要因素.例如双线性发生率函数［23］,当治疗率较小时,后向分支发生且存在稳定的地方病平衡点.随着研究的深入,研究者们发现,这种发生率函数不能精确表达疾病的传播特点.这是因为当感染者数量增大时发生率函数并不像双线性发生率函数那样呈线性增加,而是需要适当的函数形式和适当的参数限制感染者与易感者之间的无限接触.由此,研究者们提出了饱和发生率函数［48］,饱和发生率函数显然比双线性发生率函数更合理.此后,大量非线性发生率函数和一般发生率函数［911］相继提出.一般而言,非线性发生率函数比双线性发生率函数更能反映传染病的真实传染规律,同时能够产生更加丰富和复杂的动力学行为.对传染病进行有效控制进而消灭的一种重要手段就是采取治疗.最早,Wang等［12］提出常数治疗,即对疾病存在固定的治疗能力.Wang［13］和吴琼等［5］进一步改进了常数治疗函数,采取线性饱和治疗函数,该治疗函数在没有达到最大值时,保持与感染者数量呈正比例关系,否则采取最大治疗能力.周康等［6］推广了该治疗函数,研究了具有常态预防能力的线性饱和治疗函数的SIR模型.此治疗函数的优点在于提出了常态下的预防,即在没有感染者被发现的情况下,医院对疾病保持有一定的治疗能力,这样更有利于对疾病的预防.除线性饱和治疗函数外,其他有关二次治疗函数和饱和治疗函数的相关研究参见文献［1415］.本文研究带有饱和发生率和线性饱和治疗函数的SIS模型,借助微分方程定性稳定性理论分析模型平衡点的存在性与稳定性,研究平衡点的共存性,进而确定该模型是否发生后向分支现象以及后向分支何时发生.1模型的建立本文建立并研究的传染病模型为：

dSdt等于A－dS－λSI1+αI+rI+hI

dIdt等于λSI1+αI－d+ε+rI－hI（0<α<1)（1）

其中：

h(I)等于kI+β,0≤I≤I0

m,I>I0

为治疗函数；m指饱和治疗率,m等于kI0+β；β指常态下的正常预防能力,一般β>0；k为治愈率,一般k>0；A为人口补充率,一般A>0；λ为双线性发生率,一般λ>0；α代表由大量感染者出现或易感者行为变化对疾病发生率产生的抑制作用,一般α>0；d为自然死亡率,一般d>0；r为自然恢复率,一般r>0；ε为疾病致死率,一般ε>0；I0代表采取最大治疗能力时刻的感染者水平.文献［5］采用了线性饱和治疗函数h(I)等于kI,也就是本文β等于0的情况,该治疗函数没有常态预防能力.本文的工作将不具有常态下正常预防能力的治疗函数推广到了具有常态下正常预防能力的情形,研究结果更具一般性.2平衡点存在性首先考虑模型（1）平衡点的存在性.显然,当感染者数量I等于0时,模型（1）存在唯一的无病平衡点E0等于(A/d,0).地方病平衡点满足：

A－dS－λSI1+αI+rI+h（I)等于0

λSI1+αI－(d+ε+r)I－h(I)等于0（2）本文模型的基本再生数R0的表达公式为：

R0等于λAd(d+ε+r+k).情形1：当0<I≤I0时,式（2）可化为：

A－dS－λSI1+αI+rI+kI+β等于0

λSI1+αI－(d+ε+r)I－kI－β等于0（3）

将式（3）的两个方程相加得

S等于(A－(d+ε)I)d,

将其代入式（3）的第二个方程并化简得：

aI2+bI+c等于0（4）

其中：

a等于αd(d+ε+r+k)+λ(d+ε)

b等于d(d+ε+r+k)－λA+dβα

c等于dβ,

故此一元二次方程可能有正解I1,I2：

I1等于－b－Δ2a

I2等于－b+Δ2a（5）

其中：Δ等于b2－4ac等于［d(d+ε+r+k)－λA+dβα］2－4dβ［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］（6）从式（5）可以看出,当b≥0时,I1,I2均小于零.故只需考虑b<0的情况,而b<0等价于：

R0>1+αβ(d+ε+r+k)（7）

又因为式（4）有解必须有Δ≥0,而Δ≥0等价于：R0≥1+αβd+ε+r+k+

2dβ［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］d(d+ε+r+k)等于P0（8）

或R0≤1+αβd+ε+r+k－

2dβ［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］d(d+ε+r+k).易判断使式（7）—（8）同时成立的前提是式（8）成立.此时式（4）有两个正解Ii（i等于1,2）.设Si等于(A－(d+ε)Ii)d且Ei等于（Si,Ii）（i等于1,2）,若Ii≤I0,则Ei为模型（1）的地方病平衡点.先考虑I1>I0的情况,由于I1>I0等价于：

b+2［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I0<0,

故由该不等式可得：

R0>1+2［λ(d+ε)+αd(d+r+ε+k)］I0d(d+ε+r+k)等于P1（9）

进一步,对b+2［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I0<－Δ两边平方并化简可以得到：

R0<1+［λ(d+ε)d（d+ε+r+k)+α］I0+β(d+ε+r+k)I0等于P2（10）

故I1>I0等价于式（9）—（10）同时成立.因此,当R0≤P1或R0≥P2时,I1≤I0成立.类似地,对I2>I0进行讨论,得到当P2<R0≤P1时,I2>I0.因此当R0≤min(P1,P2)时,I2≤I0.由于

P1－P2等于［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I20－dβd(d+ε+r+k)I0,

故P1<P2等价于dβ>［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I20+αβdI0.因此有定理1：定理1当R0≥P0时,对于模型（1）的两个地方性平衡点E1,E2,a）若dβ≤［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I20,则E1存在；当R0≤P2时,E2存在,当R0>P2时,E2不存在.b）若dβ>［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I20,当R0≤P1时,E1,E2均存在.c）若dβ>［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I20,当P1<R0<P2时,E1,E2均不存在；当R0>P2时,E1存在,E2不存在.情形2：当I>I0时,式（2）可化为：

A－dS－λSI1+αI+rI+m等于0

λSI1+αI－(d+ε+r)I－m等于0（11）

以下讨论式（11）的正的地方病平衡点,与讨论式（3）同理,设式（11）的两个正的地方病平衡点为E3,E4.定理2当R0≥P^0时,对于模型（1）的两个地方病平衡点E3,E4,a）若dm≤［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20,E3不存在,且当R0≤P2时,E4不存在,当R0>P2时,E4存在.b）若dm>［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20,当P3<R0<P2时,E3,E4均存在.c）若dm>［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20,当R0≤P3时,E3,E4均不存在,当R0≥P2时,E3不存在,E4存在.其中：P^0等于1+mα－kd+r+ε+k+

2md［λ(d+ε)+αd(d+r+ε)］d(d+r+ε+k),

P3等于1+mα－kd+r+ε+k+2［λ(d+ε)+αd(d+r+ε)］I0d(d+r+ε+k).推论1当R0<1时,若dm>［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20且P^0<1,模型（1）产生一个后向分支.证明：由定理2的b）即可得到.推论2若［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20<dβ<dm≤［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I20,当max{P^0,P0,P3}<R0<P2时,模型（1）存在三个地方病平衡点E1,E3,E4.证明：由定理1的a）、定理2的b）以及m等于kI0+β>β可知,若［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20<dm≤［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I20,当max{P^0,P0,P3}<R0<P2时,E1,E3,E4都存在.若dm>［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20,则有P^0>P3成立.注意到

P0－P^0等于k(1－αI0)d+ε+r+k+2dβ［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］d(d+ε+r+k)－

2dβ［λ(d+ε)+αd(d+r+ε+k)］+αkd2{［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I0－β}d(d+r+ε+k),

若P0<P^0,则有1<I0且β<［λ(d+ε)+αd(d+r+ε)］I0.又因为d<I0.故dβ<［λ(d+ε)+αd(d+r+ε)］I20,这与题设［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20<dβ<dm≤［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I20矛盾,故得证.推论3模型（1）存在多个平衡点,但平衡点个数不超过4个.推论4模型（1）同时存在4个平衡点是不可能出现的.这是因为当dm>［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20时,由式（8）—（9）可知P0>P1,根据定理1的b）知此时E1与E2均不存在.当dβ≤［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I20时,由推论2得到模型（1）最多存在3个地方病平衡点.3平衡点局部稳定性首先,讨论E1和E2的稳定性.令

φ（S,I)等于A－dS－λSI1+αI+rI+kI+β

ψ(S,I)等于λSI1+αI－(d+r+ε)I－kI－β,

可知式（2）的Jaccobi矩阵

J等于φSφI

ψSψI

等于－d－λI1+αI－λS(1+αI)2+r+k

λI1+αIλS(1+αI)2－(d+r+ε+k).定理3当R0<1时,无病平衡点E0是局部渐进稳定的；当R0>1时,E0是不稳定的.证明：由于在E0(A/d,0)处的Jaccobi矩阵为J等于－d－λAd+r+k

0λAd－(d+r+ε+k),故可得tr(J(E0))等于－d+λAd－(d+r+ε+k),det(J(E0))等于－dλAd－(d+r+ε+k),由于tr(J(E0))<0等价于R0<1且这时有det(J(E0))>0.因此知当R0<1时,E0是局部渐进稳定的.又因为当R0>1时,det(J(E0))<0,所以E0是不稳定的.定理4若模型（1）的地方病平衡点E1存在,则E1为一个鞍点.证明：在E1A－（d+ε)I1d,I1处的Jaccobi矩阵为J等于－d－λI11+αI1－λS1(1+αI1)2+r+k

λI11+αI1λS1(1+αI1)2－(d+r+ε+k),由于detJE1等于－Δ1+αI1<0,故若E1存在,则为鞍点.证毕.定理5假设地方病平衡点E2存在,a）若有b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］≤2dac或

2dac<b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］

4d2a2c2<2c(2αd+αr+αε+αk+λ)［βab2－4βa2c+βb2+2dacb－

2ac2(2αd+αr+αε+αk+λ)］+β(βa2b2－4a3βc－b2β-4adcb）,

则E2是局部渐近稳定的.b）若有

2dac<b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］

4d2a2c2>2c(2αd+αr+αε+αk+λ)［βab2－4βa2c+βb2+2dacb－

2ac2(2αd+αr+αε+αk+λ)］+β(βa2b2－4a3βc－b2β-4adcb）,

则E2是不稳定的.证明：由于在E2A－（d+ε)I2d,I2处的Jaccobi矩阵为

J(E2)等于－d－λI21+αI－λS2(1+αI2)2+r+k

λI21+αI2λS2(1+αI2)2－(d+r+ε+k),

故det(J(E2))等于Δ1+αI2>0,

tr(J(E2))等于－d－λI21+αI2+λS2(1+αI2)2－(d+r+ε+k)

等于－2dac+b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］－［c(2αd+αr+αε+αk+λ)+βa］Δ2ac(1+αI2),

记φ等于－2dac+b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］－［c(2αd+αr+αε+αk+λ)+βa］Δ,若要tr(J(E2))<0,只要trΔ>b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］－2dac［c(2αd+αr+αε+αk+λ)+βa］.故若b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］≤2dac,则有tr(J(E2))<0成立.若b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］>2dac,则要使tr(J(E2))<0成立还需要满足Δ>{b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］－2dac}2［c(2αd+αr+αε+αk+λ)+βa］2,即（b2－4ac)［c(2αd+αr+αε+αk+λ)+βa］2－bc2αd+αr+αε+αk+λ－β－2dac2>0,整理得4d2a2c2<2c(2αd+αr+αε+αk+λ)［βab2－4βa2b+βb2+2dacb－2ac2(2αd+αr+αε+λ)］+ββa2b2－4a3βc－b2β－4adcb.

证毕.类似地,可以得到E3,E4的稳定性：定理6若E3存在,则E3为一个鞍点.定理7若E4存在,a）若有b［c(2αd+αr+αε+λ)－m］≤2dac,或

2dac<b［c(2αd+αr+αε+λ)－m］

4d2a2c2<2c(2αd+αr+αε+λ)［mab2－4ma2c+mb2+2dacb－

2ac2(2αd+αr+αε+λ)］+m(ma2b2－4a3mc－b2m-4adcb）,

则E4是局部渐近稳定的.b）若有

2dac<b［c(2αd+αr+αε+λ)－m］

4d2a2c2>2c(2αd+αr+αε+λ)［mab2－4ma2c+mb2+2dacb－

2ac2(2αd+αr+αε+λ)］+m(ma2b2－4a3mc－b2m-4adcb）,

则E4是不稳定的.4平衡点全局性质定理8无病平衡点E0是全局渐近稳定的当且仅当下列两个条件之一成立：a）R0<1且P^0≥1,b）R0<1,P^0<1且P3≥1.证明：a）由于P0>1,故由定理1可知当R0<1时,E1,E2不存在.若P^0≥1,由定理2可知当R0<1时,E3,E4不存在.b）由a）知当R0<1时,E1,E2不存在.若

dm>［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20,

此时P3<P2,则根据定理2的b）和c）知当R0>P3时,E3,E4存在,因为P3≥1,则R0>P3不可能成立,故此时E3,E4不存在.由此,在定理8的条件下,模型（1）不存在地方病平衡点.将模型（1）的两个方程相加有

d(S+I)dt等于A－dS－(d+ε)I等于A－d(S+I)－εI,

则

d(S+I)dt≤A－d(S+I),

解得S(t)+I(t)≤(S0+I0)A－e－dtd

≤(S0+I0)Ad.故模型（1）的一切正解是最终有界的,并且非负半S轴和非负半I轴均不是模型（1）的正解的正不变集.由定理3可知,当R0<1时,E0是局部渐近稳定的.根据Bendixson定理可知,当t→∞时,模型（1）的每个正解均趋向于E0.证毕.以下利用Dulac函数来证明模型（1）的极限环的不存在性.由于Dulac函数是应用于光滑的向量场,所以当它应用于模型（1）时,应该注意由模型（1）所定义的向量场在I等于I0上是不光滑的.引理9［4］如果在一个单连通区域R2+内存在一个函数D,在I≠I0时,D满足：a）D是连续可微的,b）DζS+DτI<0,

则模型（1）不存在极限环.其中：

ζ等于A－dS－λSI1+αI+rI+hI

τ等于λSI1+αI－d+r+εI－hI.由引理9,可以得到：定理10当λA<2d+ε+rd时,模型（1）不存在极限环.证明：从模型（1）的第一个方程可以看出模型（1）的所有正解都在H内,其中：H等于S,I|0≤S≤Ad.故若模型（1）存在极限环,此极限环也必在其中.取Dulac函数如下：

D等于1SI,I≤I0

1SI0,I>I0,当0<I<I0时,DζS+DτI等于－1S2IA+rI+kI+λS21+αI－λS21+αI2<0.当I>I0时,

DζS+DτI等于1S2I0－rI－m+

1S2I0－A+λS21+αI2－(d+r+ε)S（12）由于－rI－m<0,当λA<2d+ε+rd时,有

－A+λS21+αI2－d+r+εS≤A－2d+λA－dr－dεd2

<0,

故可得：当λA<2d+ε+rd时,式（12）为负,从而可知模型（1）无极限环.证毕.5数值模拟例1取d等于1,α等于0.01,ε等于0.01,r等于0.01,I0等于6,λ等于0.01,β等于0.01,m等于10.通过计算可知R0≈0.99<1,P^0<1,由于dm>［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20(其中：dm等于10,［λ(d+ε)+αd(d+ε+r)］I20≈0.7368).故由推论1知模型（1）发生了一个后向分支,平衡点的后向分支数值模拟情况如图1所示.图1后向分支数值模拟图例2取a等于1,b等于1,c等于1,d等于1,α等于0.01,ε等于0.01,r等于0.01,λ等于0.01,β等于0.01,I0等于6,故通过计算可以得到b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］等于0.032,2dac等于2.从而可得b［c(2αd+αr+αε+αk+λ)－β］≤2dac,因此由定理5可知,模型（1）存在局部稳定的地方病平衡点E2,其稳定性数值模拟结果如图2所示.图2地方病平衡点E2的稳定性模拟结果

例3取A等于200,a等于1,b等于1,c等于1d等于1,α等于0.01,ε等于0.01,r等于0.01,λ等于0.01,β等于0.01,k等于0.01,m等于120,I0等于6通过计算可知R0<1且P^0<1,又因为dm－［λ(d+ε)+αd(d+ε+r+k)］I20≈119.2056>0,故由定理1可知E1,E2均不存在,且根据推论1可得模型（1）存在不稳定的鞍点E3.又因为2dac－b［c(2αd+αr+αε+λ)－m］等于121.9698>0.故由定理7的a）可知模型（1）存在唯一的稳定地方病平衡点E4,其稳定性数值模拟结果如图3所示.图3地方病平衡点E3的不稳定性和

E4的稳定性模拟结果

6结论本文主要研究了一类带有饱和发生率和线性饱和治疗函数的SIS传染病模型.该模型中治疗函数采用线性饱和治疗函数,即：当治疗能力没有达到最大时,治疗率与感染者数量成正比；否则,采取最大治疗率.研究发现该模型至多存在4个平衡点,并利用定性分析的方法得到了各个平衡点的稳定性.数值结果验证了理论结果的正确性.当基本再生数小于1时,若饱和治疗率较小,常态预防能力过高或者采取最大治疗能力的时机过早,模型发生后向分支.故应选择适当的饱和治疗率、一定的常态预防能力以及选择合适的时机采取最大治疗能力,以避免后向分支的发生.

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ResearchondynamicalbehiorsofSISepidemicmodelwith

saturationincidenceandlinearsaturationtherapyfunction

WANGQing,LUQiuying

（SchoolofSciences,ZhejiangSciTechUniversity,Hangzhou310018,China）Abstract：Anepidemicmodelwithsaturationincidenceandabnormalpreventivesaturationtherapyfunctionwasimproved.Theimprovedmodelhasnormalpreventivecapabilityandcanbetterreflectrealinfectiousdiseasepreventionandtreatment.Besides,theconclusionsaremoregeneral.Qualitativetheoryandstabilityanalysiswereusedtostudythenumberofequilibriumpoints,thestabilityofequilibriumpointsandbackwardbifurcation.Theresultshowedthatthemodelhas4equilibriumpointsatmost.Whenthebasicregenerationnumberislessthan1,ifthesaturationtreatmentrateisrelativelyall,normalpreventioncapacityisgreaterorthemaximumtreatmentistakenearly,backwardbifurcationwillhappen.Keywords：therapyfunction;SISepidemicmodel;backwardbifurcation;equilibriumpoint(责任编辑：康锋)

综上所述，这篇文章为适合动力学和动力学研究和SIS模型论文写作的大学硕士及关于力学研究本科毕业论文，相关力学研究开题报告范文和学术职称论文参考文献.

参考文献：

1、 ofo张巳丁：共享单车多久会进入饱和期？ 本刊记者 阳娜 韩洁作为2017 年上半年中国共享经济亮点的共享单车,在短时间里发展速度惊人,成为城市街头引人注目的一道风景线 日前,记者走进位于北京海淀区的ofo（北京拜克洛克科技有限公司）总部,与.

2、 铵饱和沸石的静态生物再生 摘要生物再生是化学再生和微生物代谢的共同作用,生物再生促进NH4 解吸,NH4 解吸促进生物硝化,液相NH4 浓度降低,固液相NH4 的浓度差扩大、传质动力增大,进而促进沸石的再生,经微生物的硝化作用.

3、 某办公楼饱和土地基加固方法 【摘要】砌体结构是上世纪60、70 年代房屋建造的主要形式,且按当时的抗震规范和地基处理规范及施工规范,房屋在整个建造过程中是比较粗放的,至今,这类建筑物已超过40 年的使用年限,不管是地基基础还是上.

4、 降低饱和脂肪含量的冰淇淋稳定剂产品 近年来,无论从饱和脂肪税收的经济发展还是从健康原因出发,饱和脂肪在食品中的含量都已经越来越受关注 以冰淇淋为例,市场要求冰淇淋生产商使用更健康的成分或通过减少不健康成分来研发出更健康的冰淇淋产品 本文.

5、 改良小切口手术治疗老年甲状腺瘤疾病的临床疗效与并发症发生率分析 摘要目的分析改良小切口手术治疗老年甲状腺瘤疾病的临床疗效及并发症发生率 方法本次研究对象选取在我院接受治疗的老年甲状腺肿瘤患者100 例,收治时间为2016 年12 月到2018 年1 月,按照接受治.

6、 阅读治疗：医院图书馆患者服务的新视角 收稿日期20160210作者简介职珂珂（1991—）,上海大学研究生；武利红（1977—）,郑州航空工业管理学院讲师 职珂珂1,武利红2（1 上海大学,上海200444；2 郑.