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分类:论文范文 原创主题:学生发论文 发表时间: 2024-02-25

在立体几何教学中培养学生发散思维的四种训练策略,该文是学生发有关学术论文怎么写和发散思维和学生发散思维和四种训练策略有关毕业论文格式范文.

【摘 要】本文阐述从问题的条件、问题的结论、解法、图形进行发散思维训练的方法,培养学生发散思维能力,使学生学会从不同角度去观察和思考问题,从而提高学生的思维能力.

【关键词】立体几何 发散思维 训练策略

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889(2017)01B-0085-04

如何培养和训练学生的解题思维,是在数学教学过程中非常关键的问题,因为教师不仅要教会学生如何解题,而且还要培养和训练学生的数学思维能力.什么是数学思维?数学思维是人脑与数学对象交互作用并按一般的思维规律认识数学规律的过程.实质上就是数学活动中的思维.数学思维有多种多样.下面笔者就发散思维在立体几何中的应用这一问题进行探讨.

发散思维是一种从不同角度,通过不同途径,用不同方法去观察、分析、思考、设想、探讨解题多样化的创造性思维方式.在数学教学中发散思维表现为依据定义、定理、公式和已知条件,使思维朝着确定目标,沿着各种可能的方向扩散前进,它不局限于既定的模式,也不固定于某一角度去寻找解决问题的途径.发散思维具有三个特征:流畅性、变通性、独创性.

在立体几何教学中怎样训练学生的发散性思维能力呢?下面笔者谈一谈培养学生发散思维的四种训练策略.

一、对问题的条件进行发散思维

这就是说问题的结论确定以后,尽量变化已知条件,从不同角度用不同的知识去解题.这样,一方面可以充分揭示数学问题的层次性,另一方面又可以充分暴露学生自身的思维单纯性,使学生从中吸取更多的数学知识的营养.

例如,如图 1,三棱锥 P-ABC,侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,PA=PB=a,试给出适当的条件,可以求出顶点 P 到底面 ABC 的距离.

图1

已知条件的给法有多种,现在考虑只增加一个条件即可.

(1)PC 的长;(2)面 PAB 与面ABC 所成的角;(3)面 PAC与面 ABC 所成的角;(4)面 PBC 与面 ABC 所成的角;(5)△ABC 中 AB 上的高;(6)△ABC 中 BC 上的高;(7)△ABC 中 AC 上的高;(8)△PBC 中 BC 上的高;(9)△PAC 中 AC 上的高;(10)△PAB 中 BC 边上的高.

如果已知(1),那么△ABC 三边都可以求出,即底面 ABC 的面积可以求出,利用体积相等就可求出三棱锥P-ABC 的高.又因为 P 点在底面 ABC上的射影就是△ABC 的垂心,所以后面所给出的条件用三垂线定理即可求出所求.

二、对问题的结论进行发散思维

与已知条件的发散相反,结论的发散是确定了已知条件后,没有固定的结论,让学生自己尽可能多地确定未知元素,并去求解这些未知元素.这个过程能充分揭示思维的广度和深度.

例如,如图 2,已知 PA⊥ 面 ABCD,且 PA=AB=BC=CD=DA=a,从这些条件中能得出那些结论.

图2

这里笔者给出以下一些结论.

图中可以求出有所给出的线段,各面的面积,各个表面之间所成的二面角的度数,面 PBD 与面 ABCD 所成的二面角的度数,还可以求出一些异面直线所成的角或距离,等等.

从学生的结论不同,可以看出学生的思维的不同水平.

三、对解法进行发散思维

解法的发散就是一题多解,用这种方法训练学生是教师常用的方法,这也是训练学生思维的一种非常好的方法.

例如在上题中增加一个条件,如图 3,E 为 PB 中点,求 AE 到 PD 的距离.这样就相当于求棱长为 a 的立方体ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 AB1 与 A1D 的距离,如图 4.

图3

图4

分析:首先考虑作出 AB1 与 A1D 的公垂线,这是求两条异面直线距离的最基本的方法.然而在包括此题在内的众多题目里,作公垂线是件困难的事,有时不得不寻求他法.这就产生了第二种考虑:将其中一条直线平移,使之和另一条相交,从而把问题转化成求直线和平行平面之间的距离.第三个考虑是,过每一条直线作一平面,使其与另一条异面直线平行,从而把问题归结为求两个平行平面间的距离.因为分别在两异面直线上各取一点,并使这两点连线的距离最短就是两异面直线之间的距离,所以可以利用求最小值的方法来求两异面直线之间的距离.

解法一:如图 4,因为作 AB1 和 A1D 的公垂线比较困难,所以可以先假设 MN⊥AB1 于 M,MN⊥A1D 于 N,那么 MN 即为所求.

又∵A1D∥B1C,

∴MN⊥B1C

∴MN⊥面 B1AC

∵BD1⊥面 B1AC

∴MN∥BD1.

过 MN、BD1 作一平面交 AA1 于 E,那么有

∴A1E=EA,这表明 E 是 AA1 的中点.

因此可以取 AA1 的中点,连结 BE、D1E 分别交 AB1、A1D 于 M、N.

∵△AEM△BB1M,且

同理

∴MN∥BD1

由上面可知 MN 就是所求的公垂线段.

可得

解法二:我们在用上面方法解题时,得到一个“副产品”:,.

这样,我们完全可以用其他方法证明 MN 是 AB1 和 A1D 的公垂线,并求出 MN.

如图 5 所示.

图5

作 ,,ME⊥AA1 于 E.

∵面 AB1⊥ 面 A1D

∴ME⊥面 A1D

∵EM∥ A1B1

,

∴EN∥AD1

∵AD1⊥A1D

∴EN⊥A1D

∴MN⊥A1D

同理可证:MN⊥AB1,即 MN 为所求.

,

解法三:如图 6 所示.

图6

设 MN 是 AB1 与A1D 的距离,即 MN⊥AB1,MN⊥A1D;作 MP⊥AA1 于 P,则 PN⊥A1D;作 NQ⊥AA1,则 NQ⊥AB1,可知 MQ⊥AB1.得

AM=MQ,PA=PQ=PM

∵PQ=QN=A1Q

,

解法四:转化为线面距离,再转化为点面距离,用求体积来解.

如图 7 所示.

图7

因为 A1D∥B1C,所以 A1D∥面 B1AC.则要求 A1D 与 AB1 的距离转化为求 A1D 与面 B1AC 的距离.考虑四面体 C-AA1B1,则高为 BC,得 .又将面 AB1C 视为底面,则高为 A1 到面 AB1C 的距离(即所求的异面直线距离),设此距离为 h.

解法五:利用求两条异面直线所成的角时所采用过的方法,平移立方体,可以直接将要求的两异面直线距离问题转化为求三棱锥的高(如图 8).

图8

将立方体 AC1 向左平移 a 个单位,则 AB1∥面 A1A2D,于是 A1D 和 AB1 的距离就是 A 到面 A1A2D 的距离,这个距离就是三棱锥 A-A1A2D 的高.解法和上题相似.

解法六:如图 9,问题可以归结为求两平行平面 AB1C 和 A1DC1 的距离.对本题来说,有现成的与两个平面都垂直的直线,那就是主对角线 BD1.只要求出 BD1 夹在两平行平面之间的部分长即可.

图9

∵AC∥A1C1,A1D∥B1C

∴平面 AB1C∥平面 A1DC1

连 BD1,BD1 在平面 A1C1 内的射影是 B1D1.

因 A1C1⊥B1D1,由三垂线定理知,A1C1⊥D1B.

同理 D1B⊥A1D

∴D1B⊥平面 A1DC1

∵平面 AB1C∥平面 A1DC1

∴D1B⊥平面 CB1A

设 D1B 与平面 CB1A、平面 A1DC1的交点分别为 N、M.

在 Rt△D1C1B 中,C1M 是斜边 D1B上的高,由射影定理知

同理

解法七:如图 10 所示.在 AB1 上任取一点 M,作 MP⊥AA1,PN⊥A1D,则 MN⊥A1D.只要求出 MN 的最小值即可.

图10

设 AM=x,则 ,AP= .

当 时,MN 最小值为.

四、对图形进行发散思维

图形的发散是指将图形中某些元素的位置进行变化,从而产生一系列新的图形.通过这些图形的变化,可以了解到它们之间的区别与联系、特殊与一般等规律,从而使学生能很好地加深理解和掌握知识.

如图 11,顶角为 60°,底面半径为 r 的圆锥,求过顶点 P 的截面面积的最大值.

图11

设 PAB 是过顶点的一个截面,则△PAB 是等腰三角形,PC 是底边上的高.设 ∠APB=2β,则 ∠APC=β.

,

当 2β=60°时,截面面积最大,即截面面积最大值为 .

现在我们将圆锥顶角改为 30°,45°,90°,那么结论将会如何呢?显然解法和上面是一样的.从上面可以看出,这些截面都是轴截面.到这里学生很容易认为过圆锥顶点的截面中轴的截面的面积最大,那么是不是轴截面的面积都是最大的呢?请看看,当圆锥顶角为 135° 时,结论又会如何?

如图 12,仿照上题可求出轴截面的面积是 ,但是过(下转第132页)(上接第87页)顶点的截面的面积最大应为 2r2,这时截面的顶角为 90°.比较一下就知道轴截面不一定是面积最大的截面.由以上可以得出一个结论,过圆锥顶点的截面面积最大的有:

图12

(1)当顶角小于或等于 90°时,是轴截面;

(2)当顶角大于 90°时,面积最大的截面是顶角为 90°的截面.

通过类似上面的图形发散,可以使学生进一步加深理解各个知识点中的特殊与一般的区别与联系,从而能够全面地掌握各个知识点.

总之,以上各种发散思维的训练,可以沟通各种知识的内在联系,使学生对已学知识形成系统,同时,学生也学会了从不同角度去观察和思考问题,提高思维能力,特别是创造能力.因此,我们在教学中适当地选择发散点,强化训练发散思维,可以更好地提高学生的素质和能力.

【参考文献】

[1]田万海.数学教育学[M].杭州:浙江教育出版社,1992

【作者简介】刘方勇(1970— ),男,汉族,广西博白县人,玉林市博白县第三高级中学数学教师.

(责编 卢建龙)

上文总结,上述文章是一篇关于发散思维和学生发散思维和四种训练策略方面的学生发论文题目、论文提纲、学生发论文开题报告、文献综述、参考文献的相关大学硕士和本科毕业论文.

参考文献:

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