论文关于拉格朗日乘数法的一点，该文是思考类在职毕业论文范文与乘数和拉格朗日和思考有关论文范文集.
摘 要：拉格朗日乘数法是求解条件极值问题的一种有效的方法,也是多元函数微分学部分的重要内容之一.本文利用曲面束探讨了拉格朗日乘数法的几何意义并给出了拉格朗日函数构造的一种几何解释.
关键词：拉格朗日乘数法；曲面束；几何意义
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）08-0223-02
众所周知,拉格朗日乘数法是求解条件极值问题的一种有效的方法,也是多元函数微分学部分的重要内容之一.然而在绝大多数的高等数学教材中,对拉格朗日乘数法的介绍常常比较简略,例如在同济大学数学系编写的《高等数学》（第七版）中是这样介绍拉格朗日乘数法的：“考虑如下的条件极值问题：求二元函数z等于f（x,y）（1）,在条件渍（x,y）等于0 （2）下的极值和最值.
现在先来寻求上述问题取得条件极值的必要条件.假定函数（1）在P（x0,y0）处取得极值,那么首先有：渍（x0,y0）等于0 （3）
若在P的某个邻域内二元函数f（x,y）和渍（x,y）均有连续的一阶偏导数,且渍y（x0,y0）≠0,则由隐函数存在定理可知,方程（2）确定一个连续且具有连续导数的函数y等于ψ（x）,将其带入（1）式,结果得到一个变量x的函数z等于f（x,ψ（x）） （4）
于是函数（1）在P（x0,y0）处取得极值,也就是相当于函数（4）在x等于x0处取得极值.由一元可导函数取得极值的必要条件知道dzdx等于fx（x0,y0）+fy（x0,y0）dydx x等于x0等于0 （5）
而由（2）用隐函数求导公式,有dydx x等于x0等于-渍x（x0,y0）渍y（x0,y0）把上式带入（5）得fx（x0,y0）-fy（x0,y0）渍x（x0,y0）渍y（x0,y0）等于0 （6）
（3）、（6 ）两式就是函数（1）在（2）的条件下在P（x0,y0）处取得极值的必要条件.
设λ等于-fy（x0,y0）渍y（x0,y0）,上述必要条件就变为fx（x0,y0）-λ渍x（x0,y0）等于0,fy（x0,y0）-λ渍y（x0,y0）等于0,渍（x0,y0）等于0.扇墒设设设设设缮设设设设设（7）
若引进辅助函数L（x,y）等于f（x,y）-λ渍（x,y）,则不难看出,（7 ）中前两式就是Lx（x0,y0）等于0,Ly（x0,y0）等于0.函数L（x,y）称为拉格朗日函数,参数λ称为拉格朗日乘子.
由以上讨论我们得到如下结论：
拉格朗日乘数法：
要找函数z等于f（x,y）在附加条件渍（x,y）等于0下可能的极值点,可以先作拉格朗日函数：
L（x,y）等于f（x,y）-λ渍（x,y）,
其中,λ为参数,求其对x和y的一阶偏导数,并使之为零,然后与方程（2）联立起来：
fx（x,y）-λ渍x（x,y）等于0,fy（x,y）-λ渍y（x,y）等于0,渍（x,y）等于0.扇墒设设设设设缮设设设设设（8）
由这个方程组解出x、y以及λ,这样得到的（x,y）就是函数f（x,y）在附加条件渍（x,y）等于0下可能的极值点.
在以上述方式向学生介绍拉格朗日乘数法的过程中,学生常常对拉格朗日函数L（x,y）的构造以及令λ等于-fy（x0,y0）渍y（x0,y0）表示不解,这使得学生在学习拉格朗日乘数法的过程中往往很难理解拉格朗日乘数法的核心思想,而在应用拉格朗日乘数法解题过程中常常只能生搬硬套,无法做到灵活应用.受华东师范大学数学系编写的《数学分析》（第四版）的启发,适当地结合几何直观与几何意义介绍拉格朗日乘数法可以使学生更好的理解拉格朗日乘数法的思想,从而在解题时做到灵活应用.下面,本文将从几何上来解读拉格朗日函数L（x,y）的构造方式以及令λ等于-fy（x0,y0）渍y（x0,y0）的目的.
从解析几何上来看,方程渍（x,y）等于0和z等于f（x,y）表示空间直角坐标系中的两个曲面,因此在几何上,在方程（2）的条件下求函数（1） 的极值就是在交线l ：z等于f（x,y）渍（x,y）等于0 嗓上寻求极值点.假设Q（x0,y0,z0）是交线l上的一点且交线l的参数方程为l：x等于x（t）y等于y（t）z等于z（t）扇墒设设设设缮设设设设,则交线l上过Q点的切线方程可以写成：L：x-x0x´（t0）等于y-y0y´（t0）等于z-f（x0,y0）z（´ t0）,其中t0为Q点对应的参数值.由于Q点位于曲面z等于f（x,y）上,因此交线l的参数方程满足z（t）等于f（x（t）,y（t））.若Q点还是交线l 上的极值点,则根据费马引理我们可知z´（t0）等于0,故交线l上极值点处的切线的方向向量必然平行于XOY平面.类似于一元函数,我们将任意一条曲线上的切线的方向向量平行于XOY平面的点称为曲线上驻点.则由上述讨论可知,交线l上极值点必然是交线l上驻点.因此,和无条件极值问题类似,求解（1）、（2 ）的条件极值问题可以分为两步,首先找到交线l上的所有驻点,然后逐一的区分这些驻点哪些是极值点.而拉格朗日函数L（x,y）的构造,则是为了找出所有交线l上的驻点.
由于渍（x,y）等于0,因此对任意的参数λ,拉格朗日函数L（x,y）所表示的曲面总是经过交线l,故拉格朗日函数L（x,y）可以看成是由参数λ生成的总是经过交线l的一组曲面束.对任意一个给定的参数λ来说,L（x,y）所表示曲面的驻点的坐标必然满足（8）式的前两式.若进一步讲,该驻点还位于交线l上,则该驻点的坐标也满足渍（x,y）等于0,即（8）式的第三式.因此,在几何上求方程组（8）式的解就是对任意一个给定的参数λ,去找所有位于交线l上的曲面L（x,y）的驻点.设Q´（x1,y1,z1）是位于交线l上的曲面L（x,y）的一个驻点,则曲面L（x,y）在Q´点处的切平面π必然平行于XOY平面.由于交线l位于曲面L（x,y）上且经过Q´点,故交线l在Q´点处的切线L必然位于切平面π内,因此切线L必然平行于XOY平面,这意味着Q´点同时也是交线l上的驻点.另一方面,设Q（x0,y0,z0）点是交线l上的驻点,则在l：z等于f（x,y）渍（x,y）等于0 嗓的意义下,交线l上点Q处的切线方程为：L：x-x0渍y （x0,y0）等于y-y0-渍x （x0,y0）等于z-f（x0,y0）fx （x0,y0）渍y （x0,y0）-渍x （x0,y0）ff （x0,y0）
由于切线L的方向向量T平行于XOY平面,故fx （x0,y0）渍y （x0,y0）-渍x （x0,y0）ff （x0,y0）等于0 （9）因为Q（x0,y0,z0）点还位于交线l上,所以（x0,y0）必然满足（8）式,其中λ等于-fx （x0,y0）渍x （x0,y0）或λ等于-fy （x0,y0）渍y （x0,y0）.于是,交线l上的驻点必然是对于某个特定的λ位于交线l上的曲面L（x,y）的驻点.
综上所述,所有位于交线l上的曲面L（x,y）的驻点和所有交线l上的驻点是等价的.因此,找出所有交线l上的驻点等价于找出所有位于交线l上的曲面L（x,y）的驻点.而在几何上,拉格朗日函数L（x,y）的构造可以理解为通过参数λ的变化,利用函数渍（x,y）改变曲面z等于f（x,y）除交线l以外的形状,使交线l上有曲面L （x,y） 的驻点.而令λ等于-fx （x0,y0）渍x （x0,y0）或λ等于-fy （x0,y0）渍y （x0,y0）表明,想要找出交线l上的驻点Q（x0,y0,z0）,我们需要将曲面z等于f（x,y）变化成L（x,y）等于f（x,y）-λ渍（x,y）才行.
Some Thoughts on Lagrange Multiplier Method
WU Yuan-ze
(School of Mathematics,China University of Mining and Technology,Xuzhou,Jiangsu 221116,China)
Abstract: Lagrange multiplier is an effective method for solving conditional extremum problems,and it is also oneof the important parts of the differential calculus of multivariate functions. In this paper,the geometric meaning ofLagrange multiplier method is discussed by using surface pencil,and a geometric explanation of the construction ofLagrange´s function is given.
Key words: lagrange multiplier method;curved bundle;geometric meaning
综上所述,上述文章是一篇大学硕士与思考本科思考毕业论文开题报告范文和相关优秀学术职称论文参考文献资料，关于免费教你怎么写乘数和拉格朗日和思考方面论文范文.
参考文献：
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