论文基于APOS理论的数学概念教学实践以《分数的意义》一课为例，该文是关于教学实践类毕业论文范文和《分数的意义》和APOS理论和一课方面专升本论文范文.
摘 要：APOS理论是美国数学家、数学教育家杜宾斯基等人提出的数学概念学习理论.A、P、O、S分别代表数学概念学习的四个阶段：活动、程序、对象和图式.以《分数的意义》一课为例,谈APOS理论的实践运用——活动阶段：直观感知,积累感性认识；程序阶段：活动内化,形成概念表象；对象阶段：抽象概括,揭示概念本质;图式阶段：知识整合,形成概念结构.
关键词：APOS理论概念教学分数的意义
概念是思维的基本单位.数学概念是具体性与抽象性的辩证统一,是“过程”与“对象”的统一体,是人们对客观事物在感性认识的基础上,经过比较、联系、分析、综合、抽象、概括等一系列思维活动,逐步认识到它的本质属性以后形成的.因此,在数学概念教学中,应该让学生经历从具体到抽象、从过程操作到对象领悟的统一过程,最终形成数学概念.但是,在实际数学概念教学中,有些教师出于对教学时间的考虑,只是把数学概念视为一种规定的对象,要求学生记住即可,忽视学生从具体到抽象、从过程到对象的思维历程.那么,如何基于学生学习概念的思维历程,更有效地开展数学概念教学？
一、理论解读
APOS理论正是一种从心理角度分析的数学概念学习理论.它是美国数学家、数学教育家杜宾斯基等人在实践研究中提出来的,它把数学概念学习的心理过程分为四个阶段：“活动（action）”“程序（process）”“对象（object）”“图式（或者说图式结构,schema）”.“活动”是指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象.当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后,就可以内化为一种称之为“程序”的心理操作.有了这种“程序”,个体就可以想象这个“活动”,而不需要通过外部的刺激；他可以在头脑中实施这个程序,而不需要具体的操作.当个体能够把“程序”作为一个整体进行操作时,这一程序就变成了一种心理“对象”.一个数学概念的“图式”是指由相应的“活动”“程序”“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架,它可用于解决与这个概念相关的问题.
二、实践运用
下面笔者将以苏教版小学数学五年级下册《分数的意义》一课（教材内容见图1）为例,谈一谈APOS理论的实践运用.
图1
这部分内容是在学生初步认识了分数的基础上进行教学的.三年级时,学生学习了把一个物体或几个物体组成的整体平均分成若干份,用几分之一、几分之几表示其中的一份或几份.本节课主要是引导学生抽象出单位“1”的概念,概括分数的意义,认识分数单位.笔者结合APOS理论中的阶段顺序,力求引导学生经历概念的建构过程,构建完整的概念结构.
(一)活动阶段——直观感知,积累感性认识
【片段1】
师（呈现月饼图）看到这个月饼图,你想到什么分数？
生13.把一个月饼平均分成3份,其中的1份就是这块月饼的13.
师有一个词用得很准确：平均分.这个月饼的34是什么意思？
生把一个月饼平均分成4份,其中的3份是34.
师（出示米尺图）你想到用什么分数表示？
生110.把一米平均分成10份,1份就是110.
师一米的14是什么意思？
生把一米平均分成4份,每份就是一米的14.
师（出示一升的量杯图）你能想到哪个分数？
生12.把一升平均分成2份,1份就是12.
师一升水的23表示？
生把一升水平均分成3份,其中的2份就是23.
师（出示8个笑脸贴）你想到什么分数？上来表示一下.
生把8个笑脸看成一个整体,平均分成8份,其中的1份就是18.
师这个笑脸贴的14是什么意思？
……
在活动阶段,让学生借助直观材料、数形结合,说出具体分数的含义,并且在不断变换客观数学对象的过程中,感悟“变”与“不变”,积累分数概念的经验,形成这样的一种感性认识：都是把一个对象平均分,用分数表示平均分的结果.这样的感性经验有效地解决了分数概念的抽象性与学生思维的形象性构成的矛盾,不仅唤醒了学生已有的知识,找到了新旧知识的连接点,而且为学生后续从感性认识上升到理性认识做了铺垫.
(二)程序阶段——活动内化,形成概念表象
【片段2】
师刚才,我们看实物说分数.现在,我们能不能自己在头脑中想一个分数并创造出实物？
（学生依次展示并说出一个正方形的12、一米的34、一堆苹果的15、一堆桃的13、一块大饼的14的意义.教师将其画在黑板上.）
师比较黑板上的图,在分法上有什么相同的地方？
生都是平均分了几份,取了其中一份或几份.
师有什么不同呢？
生平均分的份数不同,表示的分数也不同.
生平均分的对象也不同.
师你能根据平均分的对象,把它们分分类吗？每一类都是把什么平均分的？
生（上台指着黑板上的图）第一类是把一个物体平均分,第二类是把计量单位平均分,第三类是把一些物体平均分.
师是的,把平均分的对象分成了一个物体、一个计量单位和由许多物体组成的一个整体.
“程序”是在头脑中对活动进行描述和反思.在这个阶段,教师不需要再提供外界材料帮助学生理解分数概念,而是放手、让权,给学生空间与时间,让学生自己“做分数”.这个过程中,学生自觉内化之前的活动,在头脑中建立分数表象,通过画的方式将表象外化出来,通过比较几种分法的相同之处,初步感受分数概念的意义：都是把一个对象平均分成几份,表示这样的一份或几份的数.教师顺势引导学生按照平均分的对象进行分类,分为一个物体、一个计量单位、一个整体,初步形成单位“1”的概念.
(三)对象阶段——抽象概括,揭示概念本质
【片段3】
师刚才分的一个物体、一个计量单位、一个整体,都和自然数几有关？
生1.
师数学上把平均分的对象,比如一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体,都可以用自然数1来表示,通常,我们把它叫作单位“1”.上面这些图分别是把什么看作单位“1”？同桌说说看.
（学生同桌互说.）
师（指着图2中圈内的一个实心圆）这个实心圆可以用自然数1表示吗？
图2
生能.
师那在这里它能表示单位“1”吗？为什么？
生不能,因为这里分的并不是它,而是这6个圆,所以单位“1”是6个圆组成的整体.
生要把平均分的对象看作单位“1”.
师现在,你感受到自然数1和单位“1”的区别了吗？
（学生点头.）
师认识了单位“1”,上面的分数分别是把单位“1”平均分成多少份？表示这样的几份？
……
生58表示把单位“1”平均分成8份,表示这样的5份.
……
师上面的分数有什么共同的地方？你觉得什么是分数呢？
生分数是把单位“1”平均分成几份,表示取出这样几份的数.
（学生充分交流.）
师把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫作分数,表示其中一份的数叫作分数单位.你能说说黑板上各个分数的分数单位吗？它们分别有几个这样的分数单位？
……
“对象”是通过对前面活动、程序的抽象,认识到概念的本质,对其赋予形式化的定义和符号,使其成为一个具体的对象.本节课的重点是抽象出单位“1”的概念.对此,教师引导学生进行了两次抽象.第一次提问“一个物体、一个计量单位、一个整体,都和自然数几有关”,引导学生将之前建立的平均分对象结构放到更高层次的结构中,这个过程本质上就是由具体的量概括出抽象的数,即将平均分的对象抽象成没有具体大小、多少、长短的“1”.第二次引导学生比较自然数1和单位“1”,体会单位“1”的本质.当学生多次运用“程序”,即多次经历把对象平均分成几份,取其中的几份,用分数表示的过程后,能够感悟分数应用中的相同特征,最终提取出单位“1”的本质属性.这将之前的“程序”压缩为一种“对象”,即单位“1”、分数、分数单位的形式化定义,从而实现分数概念过程和对象的统一.
(四)图式阶段——知识整合,形成概念结构
【片段4】
师（出示图3）找出题目中的单位“1”、分数单位,并说说分数表示什么意思.1.五年级一班中,会打乒乓球的有59.
2.地球表面有71100被海洋覆盖.
3.一节课的时间是23小时.
图3
（学生回答.）
师今天,我们学习了单位“1”、分数、分数单位这三个概念,它们之间有什么联系呢？
生把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数是分数单位,表示其中几份的数是分数.图4
生我觉得看分数的分母可以看出分数单位是多少,看分子可以看出有多少个分数单位.
生任何一个分数都是由一个或几个分数单位组成的.
师说得真好！我们找到了单位“1”、分数、分数单位的联系.还记得以前学过的整数的计数单位吗？一个整数又是由什么组成的呢？
生整数的计数单位有个、十、百、千等,一个整数就是由几个整数单位组成的.
师没错,我们目前学到的数,不管是整数还是分数,都是由几个计数单位组成的.
（板书,见图4.）
在图式阶段,教师启发学生思考单位“1”、分数、分数单位这三个概念之间的联系,形成横向关联,即把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数是分数单位,表示其中一份或几份的数是分数；又带领学生回忆整数的意义,形成纵向关联,使得“分数的意义”同化到整个“数的意义”的知识结构中,形成更高级的图式,即数都是由几个计数单位组成的,整数的计数单位是个、十、百……分数的计数单位是“几分之一”,从而形成认知结构和认知框架.
相比于传统的教学,基于APOS理论的数学概念教学,更注重学生学习概念本质的过程.值得注意的问题是,APOS理论中的活动、程序、对象、图式这四个阶段,在理论上是一种等级结构,但在实际教学中,个体对某个概念的理解并不一定遵循这种线性的途径,如学生在对象阶段,若不能理解分数概念,则会“解压缩”返回程序阶段,再借助头脑中具体的实例帮助理解.可见,在实际教学中,教师要灵活地分析学生所处的认知阶段,采取合适的方法,让学生经历概念的建构过程,形成完整的概念结构,促进学生数学思维的发展.
参考文献：
［1］ 鲍建生,周超.数学学习的心理基础与过程［M］.上海:上海教育出版社,2009.
［2］ 张兴华.儿童学习心理与小学数学教学［M］.南京:江苏教育出版社,2011.
［3］ 彭聃龄.普通心理学（第4版）［M］.北京:北京师范大学出版社,2012.
［4］ 颜春红.学生数学整体思维培养——小学数学结构化教学的探索与实施［M］.南京:江苏凤凰教育出版社,2017.课程改革
本文汇总，这是一篇关于教学实践方面的大学硕士和本科毕业论文以及《分数的意义》和APOS理论和一课相关教学实践论文开题报告范文和职称论文写作参考文献资料.
参考文献：
1、 培养高中生设计能力的教学实践和以简单结构的设计一课为例 摘要高中生创新设计能力的提高有赖于专业知识和设计素材的积累,有赖于创新方法和设计策略的领悟,有赖于设计实践经验的不断丰富 只要教师讲究教法,注重实践,学生的创新设计能力就一定会得到扎实而有效的提升 以.
2、 数学思想方法在初中数学概念教学中的运用 【摘要】 在初中数学教学中应用数学思想方法,可以提升学生对数学概念与知识的理解与应用能力 通过增强学生对数学思想方法的体验与认知,注重与学生的沟通与交流,进而更好的发挥数学思想方法的作用,确保初中数学.
3、 小学数学概念教学六步走 数学概念是客观现实中数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映,它是以语言和符号为中介的,具有抽象概括性 小学生抽象思维能力较弱,对于数学语言的理解和表达有一定的难度,同时由于课堂教学在空间、时间上的.
4、 初中数学概念教学策略探究 【摘要】概念是初中数学知识学习的基础,是学生新知识学习过程中首先接触并必须掌握的内容之一 但对于数学概念的掌握来说,需要学生具备一定的综合运用和举一反三能力 因此,大多数学生反而在概念掌握和运用方面存.
5、 初中数学情感教学实践 摘要新课标提出要求初中数学教学渗透情感教育,确保数学教学满足学生的情感需求 基于此,教师应结合具体教学实例,对初中数学情感教学进行实践分析,注重对学生数学情感的培养、注重采用多样化的教学方法、注重教学.
6、 小学数学概念教学的策略 【摘要】在小学阶段学生要掌握的数学概念大约有500多个,是构成小学数学基础知识的重要内容 理解掌握这些数学概念,对于培养小学生数学思维能力、形成空间观念及后续初中阶段的学习都将起到非常重要的作用 文章.